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Mathe

Quadratische Gleichungen lösen

Lösen Sie ax² + bx + c = 0 mit der Mitternachtsformel. Geben Sie die drei Koeffizienten ein und erhalten Sie die Lösungen — reell oder komplex — sowie Diskriminante, Scheitelpunkt und jeden Rechenschritt.

x²
x
Für ax² + bx + c = 0. Bringen Sie alle Terme auf eine Seite; Subtraktionen als negative Zahlen eingeben.

Ergebnis

Lösungen von x² − 3x + 2 = 0x₁ = 2, x₂ = 1Zwei verschiedene reelle Lösungen
Diskriminante Δ1
Scheitelpunkt(1,5, -0,25)
Faktorisierte Form
(x − 2)(x − 1)
Öffnung der Parabel
Nach oben (Minimum im Scheitelpunkt)
Symmetrieachse
x = 1,5
y-Achsenabschnitt
(0, 2)
Summe / Produkt der Lösungen
3 / 2
  1. Koeffizienten bestimmen: a = 1, b = -3, c = 2.
  2. Diskriminante: Δ = b² − 4ac = (-3)² − 4·(1)·(2) = 1.
  3. Δ > 0, also gibt es zwei reelle Lösungen. √Δ = 1.
  4. Mitternachtsformel anwenden: x = (−b ± √Δ) / 2a = (3 ± √1) / 2.
  5. Ergebnis: x₁ = 2, x₂ = 1

So funktioniert es

  1. Bringen Sie die Gleichung in die Form ax² + bx + c = 0.
  2. Geben Sie a, b und c ein (bei a = 0 wird sie als lineare Gleichung gelöst).
  3. Lesen Sie die Lösungen ab und folgen Sie dem Rechenweg.

Formel

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
Δ = b² − 4ac

Die Diskriminante Δ bestimmt die Art der Lösungen: Δ > 0 ergibt zwei reelle Lösungen, Δ = 0 eine doppelte Lösung und Δ < 0 zwei konjugiert komplexe Lösungen.

Beispiel

Lösen Sie 2x² + 3x − 5 = 0.

Eingaben

a
2 x²
b
3 x
c
-5

Ergebnis

Lösungen von 2x² + 3x − 5 = 0x₁ = 1, x₂ = -2,5Zwei verschiedene reelle Lösungen
Diskriminante Δ49
Scheitelpunkt(-0,75, -6,125)
Beispiel in den Rechner übernehmen →

Den Graphen einer quadratischen Funktion lesen

Der Graph von y = ax² + bx + c ist eine Parabel. Ihre reellen Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der x-Achse, ihr Scheitelpunkt bei x = −b ÷ 2a ist der höchste oder tiefste Punkt. Für a > 0 ist sie nach oben geöffnet, für a < 0 nach unten.

Häufige Fragen

Was passiert bei a = 0?

Dann ist die Gleichung linear (bx + c = 0) und hat für b ≠ 0 die einzige Lösung x = −c ÷ b. Der Rechner löst sie automatisch.

Was bedeutet eine negative Diskriminante?

Die Parabel schneidet die x-Achse nicht, es gibt keine reelle Lösung. Die beiden Lösungen sind komplexe Zahlen der Form p ± qi.

Kann ich stattdessen faktorisieren?

Ja, wenn die Lösungen rational sind: x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2), also x = 1 und x = 2. Die Mitternachtsformel funktioniert immer, auch bei irrationalen und komplexen Lösungen.

Wie genau sind die Ergebnisse?

Gerechnet wird in doppelter Genauigkeit, angezeigt mit sechs Nachkommastellen — mit einer numerisch stabilen Variante der Formel.